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Forme indeterminate

Introduzione

In questa attività viene viene assegnato un limite che, con il calcolo “a mano”, restituisce una forma indeterminata. Con l’uso della calcolatrice è possibile elaborare una congettura su quale possa essere il limite della funzione.

Gli strumenti utilizzati sono:

  • un esercizio svolto
  • 3 esercizi simili da proporre alla classe

Gli obiettivi di questa attività sono:

  • usare la calcolatrice per anticipare un risultato (elaborazione di una congettura)
  • imparare a utilizzare la calcolatrice come strumento di mediazione per affrontare l’argomento “forme indeterminate”

Esercizio svolto

Enunciato

Per il seguente limite

lim⁡x→0x3−xx2+x\lim_{x \to 0} \frac{{x}^3-x}{{x}^2+x}
  1. Esegui il calcolo “a mano” e verifica che si ottiene una forma indeterminata;
  2. Con l’aiuto della calcolatrice grafica NumWorks, elabora una congettura sul valore del limite;
  3. Riscrivi la funzione in modo equivalente, ma tale che il limite non sia più una forma indeterminata.

Svolgimento

  1. Calcoliamo “a mano”

    lim⁡x→0x3−xx2+x\lim_{x \to 0} \frac{{x}^3-x}{{x}^2+x} = 03−002+0\frac{{0}^3-0}{{0}^2+0} = 00\frac{0}{0}

  2. Sulla calcolatrice grafica NumWorks, nell’applicazione Funzioni, traccio il grafico della funzione f(x)=x3−xx2+xf(x)=\frac{{x}^3-x}{{x}^2+x} e osserviamo che in x=0 la funzione non è definita:

    limitex-0
    Tuttavia, per valori sufficientemente vicino a 0, f(x)f(x) è vicina a -1:
    limitex-02
    limitex-meno02
    La nostra congettura è quindi che:
    lim⁡x→0x3−xx2+x=−1\lim_{x \to 0} \frac{{x}^3-x}{{x}^2+x}=-1

  3. Riscriviamo la funzione in modo equivalente, ma tale che il limite non sia più una forma indeterminata:

    lim⁡x→0x3−xx2+x=lim⁡x→0x(x2−1x+1=lim⁡x→0x(x+1)(x−1)x(x+1)=limx→0(x−1)=0−1=−1\lim_{x \to 0} \frac{{x}^3-x}{{x}^2+x}=\lim_{x \to 0} \frac{x({x}^2-1}{x+1}=\lim_{x \to 0} \frac{x(x+1)(x-1)}{x(x+1)}=lim_{x \to 0} (x-1)=0-1=-1
    Il risultato è −1-1.

Esercizi aggiuntivi

Per i seguenti limiti:

  1. Esegui il calcolo “a mano” e verifica che si ottiene una forma indeterminata;
  2. Con l’aiuto della calcolatrice grafica NumWorks, elabora una congettura sul valore del limite;
  3. Riscrivi la funzione in modo equivalente, ma tale che il limite non sia più una forma indeterminata.

    A) lim⁡x→0x3−6x2+5xx3−3x2\lim_{x \to 0} \frac{{x}^3-6{x}^2+5x}{{x}^3-3{x}^2}

    B) lim⁡x→1x2+2x−3x2+x−2\lim_{x \to 1} \frac{{x}^2+2x-3}{{x}^2+x-2}

    C) lim⁡x→2(1(x−2)2−1x2−2x)\lim_{x \to 2} (\frac{1}{{(x-2)}^2} - \frac{1}{{x}^2-2x})

    D) lim⁡x→1(1(x−1)−3x2−1)\lim_{x \to 1} (\frac{1}{(x-1)} - \frac{3}{{x}^2-1})

    E) lim⁡x→2(Xx−2−x2+14−x2)\lim_{x \to 2} (\frac{X}{x-2} - \frac{{x}^2+1}{4-{x}^2})

    F) lim⁡x→∞x−1x3−1\lim_{x \to ∞} \frac{x-1}{{x}^3-1}

    G) lim⁡x→∞x4−2x3\lim_{x \to ∞} \frac{{x}^4-2}{{x}^3}

    H) lim⁡x→∞1−x2x2−x\lim_{x \to ∞} \frac{1-{x}^2}{{x}^2-x}

    I) lim⁡x→∞x2−6x+9x2−3x\lim_{x \to ∞} \frac{{x}^2-6x+9}{{x}^2-3x}