Etude de la population de Haute-Savoie

Cette activité est proposée par Guillaume Lorimier, professeur de mathématiques au lycée Madame de Staël à Saint-Julien-en-Genevois.

On s'intéresse aux données relatives au nombre d'habitants en Haute-Savoie entre 2006 et 2016.

Source : INSEE

Le préfet souhaite estimer la population dans les années à venir pour prévoir la construction des collèges du département. Pour le conseiller dans les décisions d'investissement, répondre aux questions suivantes :

1. Quel est le taux d'évolution sur 5 ans de la population de Haute-Savoie entre 2006 et 2011 ? Et entre 2011 et 2016 ? On donnera les résultats en pourcentage à 10^-2 près.

On calcule entre 2006 et 2011 un taux d'évolution égal à : $\displaystyle \frac{746 994 - 696 255}{696 255} = 0,0729$ soit 7,29%.

Entre 2011 et 2016, on obtient : $\displaystyle \frac{801 416 - 746 994}{746 994} = 0,0729$ soit 7,29%.

2. En déduire un taux d'évolution annuel moyen.

On calcule $\sqrt[5]{1,0729}=1,0142$ soit un taux d'évolution annuel moyen de 1,42%.

La racine n-ième est disponible dans la boîte à outils toolbox.



3. Quelle nature de suite semble adaptée pour modéliser l'évolution de la population de Haute-Savoie dans les prochaines années ?

Le taux d'évolution étant constant, on modélisera l'évolution de notre population à l'aide d'une suite géométrique.

Pour prédire l'évolution de cette population, on suppose donc que dans les prochaines années, le taux d'évolution sera constant. On modélise alors la population de Haute‐Savoie par une suite de termes notés $u\left(n\right)$, modélisant la population en l'année 2006+n.

4. Déterminer la raison, le terme initial et le terme général de cette suite.

On a une suite $\left(u_n\right)$ de terme initial $u\left(0\right)=696 255$ et de raison $q=1,0142$, soit un terme général $u\left(n\right)=696 255 \times 1,0142^n$.

5. A l'aide de cette suite, calculer la population modélisée en 2011 et 2016. Comparer vos résultats avec les données de l'INSEE (écart absolu ou relatif).

En utilisant cette suite, on obtient pour 2011, année de rang $n=5$ : $u\left(5\right) = 696 255 \times 1,0142^5 = 747 113$. On a un écart absolu de 119 ou un écart relatif de 0,016 %.

De même, on obtient pour 2016 : $u\left(10\right) = 696 255 \times 1,0142^{10} = 801 686$. L'écart absolu est égal à 270, soit un écart relatif de 0,034%

6. Selon ce modèle, quelle sera la population de Haute-Savoie en 2025 ?

En suivant ce modèle, on obtient $u\left(19\right) = 910 158$.

7. Déterminer en quelle année la population de Haute-Savoie pourrait atteindre le million à ce rythme de croissance. On pourra utiliser la fonction Tableau de la calculatrice.

La calculatrice nous donne $n=26$, ce qui correspond à l'année 2032.



8. Quelles sont les limites de ce modèle ?

Les modèles doivent être requestionnés régulièrement et le modèle exponentiel ne peut décrire la croissance d'une population à long terme dans la mesure où les ressources d'un environnement sont limités. Et si les ressources viennent à s'épuiser, le taux de mortalité tend à augmenter. On peut évoquer les hypothèses de Malthus qui ne se sont pas réalisées.