Datation archéologique (suites géométriques)

Le carbone 14 est un isotope radioactif utilisé en archéologie pour dater des échantillons carbonés. En effet, celui-ci est présent dans toute matière organique vivante en proportion constante. A la mort de l'organisme, en l'absence d'échanges avec l'environnement, le nombre d'atomes de carbone 14 diminue selon une loi mathématique connue.

1. On appelle demi-vie le temps nécessaire pour que le nombre de noyaux radioactifs d'un échantillon diminue de moitié. On modélise par une suite $u_{n}$ le nombre de noyaux radioactifs présents dans un échantillon au bout de $n$ demi-vies $\left( n \geq 0 \right)$. On notera $n_{0}$ le nombre initial de noyaux radioactifs.

   Définir par récurrence la suite $u_{n}$.

   Soit $u_{n}$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ telle que :

   $\displaystyle \left\lbrace \begin{array}{ll} u_{0}=n_{0} \\ u_{n+1}=\frac{u_{n}}{2} \end{array}\right.$

2. Quel est le type de la suite $u_{n}$ ? En déduire une formule explicite.

   La suite $u_{n}$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$. On peut donc écrire :

   $\displaystyle u_{n}=n_{0} \left( \frac{1}{2} \right) ^n$

3. On considère un échantillon qui ne contient plus que 12,5% de ses atomes radioactifs. Estimer l'âge de cet échantillon sachant que la demi-vie du carbone 14 vaut 5730 ans.

   On cherche $n$ tel que :

   $\displaystyle u_{n} = n_{0} \times 0,125 = n_{0} \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} \iff 0,125 = \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} \iff 2^{n}=\frac{1}{0,125}=8$

   Il faut donc trois demi-vies pour qu'un échantillon ne contienne plus que 12,5% d'atomes radioactifs, soit environ 17 190 ans.

4. On considère que lorsque l'échantillon contient moins de 0,4% de son nombre initial d'atomes radioactifs, il n'est plus possible de procéder à une datation.

   Déterminer approximativement, à l'aide d'un algorithme Python, la date après laquelle toute datation est impossible.

   

   

   On ne pourra pas faire de datation au-delà de 45 840 années.