Objectif

Problème d'optimisation avec étude de fonction puis comparaison de deux suites numériques.

Une histoire de boîte

On souhaite fabriquer en aluminium une boîte de conserve d'un volume de 500 cm3 de manière à ce que la surface d'aluminium utilisée pour réaliser cette boîte soit minimale.

On modélise la boîte de conserve par un cylindre de hauteur hh et de base de rayon rr.

On veut fabriquer une petite boîte de conserve.
  1. Calculer l'aire d'aluminium nécessaire si r=5r=5. On arrondira le résultat à l'entier.

  2. Si r=5r=5, alors V=hπr2=500V = h \pi r^2 = 500 d'où h=50052π=20πcm\displaystyle h=\frac{500}{5^2 \pi}=\frac{20}{\pi} cm.

    La surface nécessaire est égale à l'aire des deux disques (dessus et dessous) à laquelle on ajoute l'aire du rectangle qui forme le tube, soit ici :

    A=2πr2+2πrh=50π+10π×20π=357cm2\displaystyle A = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 50 \pi + 10 \pi \times \frac{20}{\pi} = 357 cm^2

  3. Exprimer la hauteur de la boîte en fonction du rayon du cylindre. En déduire que l'expression de la surface en aluminium est égale à 2πr2+1000r.\displaystyle 2\pi r^2+\frac{1000}{r}.

  4. V=hπr2    h=500πr2\displaystyle V = h \pi r^2 \iff h=\frac{500}{\pi r^2}

    D'où A=2πr2+2πrh=2πr2+1000r\displaystyle A = 2 \pi r^2 + 2 \pi rh = 2 \pi r^2 + \frac{1000}{r}

  5. Tracer sur la calculatrice la courbe représentative de la fonction f(x)=2πx2+1000x\displaystyle f(x)= 2\pi x^2+\frac{1000}{x} définie pour tout réel x>0x > 0. Donner une valeur approchée à 10-2 près de la valeur de xx pour laquelle la fonction est minimale.

  6. Sur le graphique, la fonction semble admettre un minimum aux alentours de x=4.
    Le tableau nous donne un mininmum pour environ x=4,30.
  7. La fonction ff est dérivable pour tout x>0x > 0. Calculer sa dérivée et en déduire la valeur exacte de xx pour que la fonction soit minimale.

  8. f(x)=4πx1000x2\displaystyle f'\left(x\right) = 4\pi x - \frac{1000}{x^2}

    Lorsque la fonction admet un minimum local, la dérivée est nulle. On cherche donc xx tel que :

    f(x)=0    4πx=1000x2    4πx3=1000    x=250π3\displaystyle f'\left(x\right)=0 \iff 4 \pi x = \frac{1000}{x^2} \iff 4 \pi x^3 = 1000 \iff x=\sqrt[3]{\frac{250}{\pi}}

  9. Quelles sont les dimensions (à 10-1 près) du cylindre ? Quelle est alors la surface d'aluminium nécessaire à sa fabrication ?

  10. Il est possible de stocker la valeur exacte trouvée précédemment dans une variable A. Puis, grâce à la boîte à outils toolbox, on applique la fonction ff définie précédemment à notre variable A pour trouver la surface d'aluminium minimale.

    On peut calculer la hauteur de la boîte de la même manière, on obtient environ 8,6 cm.

    La surface d'aluminium nécessaire est environ égale à 348,7.

Une histoire d'alu

On décide finalement de fixer r=4cmr=4\,cm et h=10cmh=10\,cm. On veut fabriquer 30 000 boîtes.

On découpera les formes en aluminium dans un rectangle en les répartissant de façon suivante :

Disque, puis rectangle, puis disque.

On hésite entre deux fournisseurs pour passer commande : le fournisseur S'alu propose de payer un forfait fixe de 15 000€ puis facture à 42€ le mètre carré. Son concurrent, Alu'minime facture à 55€ le mètre carré.

Lequel de ces deux fournisseurs est le plus intéressant pour notre commande ? Combien faut-il de centaines de mètres carré pour que les prix de la société S'alu deviennent plus attractifs ? On pourra procéder à quelques arrondis pour faciliter les prévisions.

On commence par calculer les dimensions du rectangle d'aluminium dans lequel seront découpées les formes, que l'on multiplie par le nombre de boîtes à fabriquer. Le rectangle qui forme le tube admet pour longueur la circonférence des disques, soit environ 26 cm.

A=42×10×30000=12,6.106cm2=1260m2A = 42 \times 10 \times 30 000 = 12,6 . 10^6\,cm^2 = 1260\,m^2

On utilise ensuite l'application Suites de la calculatrice pour entrer les suites correspondant au tarif de chacun des fournisseurs : un=15000+42nu_n=15 000 + 42\,n et vn=55nv_n = 55\,n.

La société S'alu est plus intéressante dans notre cas. Elle est globalement plus intéressante lorsque l'on achète plus de 1200 m2.

On définit les suites correspondant aux deux tarifs.
On règle le tableau avec un pas de 100 pour comparer l'évolution des deux suites.

On peut bien sûr déterminer plus exactement par le calcul la valeur de nn pour laquelle un<vnu_n \lt v_n : on trouve n=1153,8n = 1153,8. C'est donc au 1154ème mètre carré que la première offre devient plus intéressante.

Une histoire à dormir debout !

On décide de tester un concept révolutionnaire de boîte en alu à couvercle cartonné. Il ne faut donc plus fabriquer qu'un seul disque en aluminium. Les dimensions de notre boîte vont-elles changer ?

La surface d'aluminium utilisée n'est plus que de g(x)=πr2+1000x\displaystyle g \left( x \right) = \pi r^2 + \frac{1000}{x} dont le minimum est atteint en x=500π3\displaystyle x = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} soit environ 5,42 cm. La hauteur est alors environ de 5,42 cm aussi.

Le rectangle dans lequel seront découpées les formes aura donc pour dimension environ 11 cm sur 34 cm, soit 1122 m2. Le second fournisseur sera donc cette fois plus intéressant !