Approximation de Pi par la méthode d'Archimède

Archimède était parvenu à établir des relations mathématiques très intéressantes entre le périmètre d'un polygone à $n$ côtés et celui d'un polygone à $2n$ côtés. Ces relations mathématiques lui ont permis de mettre en place le premier algorithme de l'histoire permettant d'approcher la valeur de $\pi$.

En effet, plus le nombre de côtés d'un polygone est important et plus son périmètre tend à se rapprocher de la circonférence de son cercle circonscrit.

On observe, de plus, une situation géométrique particulière lorsque l'on double le nombre de côtés du polygone.

On choisit un cercle de rayon 1 dans lequel on inscrit un polygone à $n$ côtés ainsi qu'un polygone à $2n$ côtés.

On note $d$ la longueur d'un côté du polygone à $n$ côtés et $c$ la longueur du polygone avec $2n$ côtés. Notre objectif est d'établir une relation entre ces deux longueurs.

1. On note H l'intersection entre le rayon du cercle et une longueur du polygone de taille $n$, soit AB dans notre figure.

   1. Montrer que : $\displaystyle CH = 1 - \sqrt{1-\frac{d^2}{4}}$ .

   Le triangle OAB est un triangle isocèle dont (OH) est une hauteur. On a donc :

   $\displaystyle CH = OC - OH = 1 - OH = 1 - \sqrt{1-\frac{d^2}{4}}$

   2. En déduire que : $\displaystyle c^{2} = 2 - 2 \sqrt{1 - \frac{d^2}{4}}$.

   Le triangle ACH est rectangle en H d'où :

   $\displaystyle AC^2 = AH^2 + CH^2 = \frac{d^2}{4} + \left( 1 - \sqrt{1-\frac{d^2}{4}} \right) ^2 = \frac{d^2}{4} + 1 - 2\sqrt{1-\frac{d^2}{4}} + 1 - \frac{d^2}{4} = 2-2\sqrt{1-\frac{d^2}{4}}$

2. On pose une suite $u_n$ définie pour tout $n \geq 1$ telle que :

   $\displaystyle u_{n+1}=\sqrt{2-2\sqrt{1-\frac{u_n^2}{4}}}$

   On s'intéresse dans un premier temps aux polygones dont le nombre de côtés est un multiple de 3.

   1. Dans notre contexte, à quoi correspondent les termes $u_n$ et $u_{n+1}$ ? Quelle conjecture peut-on faire sur le sens de variation de la suite que nous cherchons à définir ?

   Dans notre contexte, le terme $u_n$ désigne le côté $d$ d'un polygone de taille $n$ et $u_{n+1}$ le côté $c$ d'un polygone de taille $2n$. Ces polygones doublent leur nombre de côtés tout en restant inscrits dans le même cercle. Ces côtés sont donc de plus en plus nombreux et de plus en plus courts. On peut faire l'hypothèse que la suite $u_n$ est décroissante.

   2. Déterminer le premier terme $u_1$ qui correspond donc à la longueur d'un côté d'un triangle équilatéral inscrit dans un cercle de rayon 1.

   Dans un triangle équilatéral, le centre de gravité est confondu avec le centre du cercle circonscrit au triangle. Autrement dit, le centre du cercle circonscrit se situe sur la médiane/hauteur à 1/3 de la base : la hauteur d'un tel triangle est égale à 3/2. On en déduit par le théorème de Pythagore que les côtés de ce triangle équilatéral sont égaux à $\sqrt{3}$. Ainsi :

   $u_1 = \sqrt{3}$.

   3. Déterminer une suite $v_n$ permettant de déterminer le nombre de côté d'un polygone telle que $v_1$ est le nombre de côté d'un triangle, $v_2$ celui d'un hexagone, etc.

   On s'intéresse à des polygones qui double leur nombre de côtés à chaque itération, donc la suite est géométrique de raison 2 et de premier terme $v_1=3$. D'où :

   $\displaystyle v_n = 3 \times 2^{n-1}$

   4. On sait que le périmètre du polygone tend vers la circonférence du cercle circonscrit lors que $n$ tend vers l'infini. En déduire l'expression d'une suite $w_n$ dont les termes s'approchent de $\pi$ vers l'infini et vérifier en générant les premiers termes de la suite avec la calculatrice.

   
   
   Le périmètre du polygone est la somme de ses côtés. Cependant, la circonférence du cercle dans lequel sont inscrits les polygones vaut $2 \pi$. Si l'on veut que notre suite tendent vers $\pi$, on obtient :
   $\displaystyle w_n = \frac{u_n}{2} \times v_n$
   La suite semble effectivement converger vers $\pi$.
   

   5. Même question pour des polygones dont le nombre de côtés est un multiple de 4.

   On suit le même raisonnement mais en modifiant la valeur du premier terme de la suite $u_n$ ainsi que la définition de la suite $v_n$.

   Le premier terme de la suite $u_n$ correspond au côté d'un carré inscrit dans un cercle de rayon 1. On calcule $u_1 = \sqrt{2}$. Le premier terme de la suite $v_n$ est lui aussi différent et on obtient $v_n=4\times2^{n-1}$.

   

   

   

   La suite semble à nouveau converger vers $\pi$.