Approximation de e par la méthode d'Euler

A la découverte de la fonction exponentielle

On cherche à construire point par point une fonction avec deux caractéristiques précises : $f' \left( x \right) = f \left( x \right)$ et $f \left( 0 \right) = 1$.

1. Rappeler la définition du nombre dérivé au point d'abscisse $a$ et en déduire une approximation du nombre $f \left( a+h \right)$ pour un réel $h$ positif et proche de 0.

Pour un $h$ positif et proche de 0 :

$\displaystyle \frac{f \left( a+h \right)-f\left(a\right)}{h} \approx f'\left(a\right) \iff f\left( a+h \right) \approx h f'\left( a \right) + f \left( a \right) \iff f\left( a+h \right) \approx f\left( a \right) \left( 1+h \right)$

2. On choisit $h = 0,1$. Remplir le tableau suivant :

   x	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
   $f \left( x \right)$	1

   On propose ensuite de tracer la courbe correspondant aux données ci-dessus grâce à un algorithme Python utilisant le module matplotlib.pyplot.

   On pourra utiliser la fonction plot(listeX,listeY) du module matplotlib.pyplot qui relie les points dont les coordonnées sont contenues dans deux listes : listeX et listeY.

x	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
$f \left( x \right)$	1	1,1	1,21	1,331	1,464	1,611	1,772	1,949	2,144	2,358	2,594





On peut proposer aux élèves plus avancés de construire la fonction sur un intervalle [0;5], par exemple, et de la comparer à la courbe exponentielle. Voir le script sur cette page.

3. D'après le tableau ci-dessus, exprimer les évolutions de $x$ et $f \left( x \right)$ en utilisant les suites numériques.

On remarque que les antécédents suivent une suite arithmétique de raison 0,1 et de premier terme 0. Les images, quant à elles, suivent une suite arithmétique de raison 1,1 et de premier terme 1.

4. En déduire une expression (approximative) de $f \left( nh \right)$ avec $n$ entier naturel.

$f \left( nh \right) \approx \left( 1+h \right)^{n}$

5. On pose maintenant $x = n \times h$. Exprimer $f \left( x \right)$ et en déduire une expression de $f \left( 1 \right)$.

$\displaystyle f \left( x \right) = \left( 1+ \frac{x}{n} \right) ^ {n}$

$\displaystyle f \left( 1 \right) = \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^ {n}$

6. On appelle $f \left( 1 \right)$ le nombre $\mathrm{e}$, appelé exponentielle, lorsque $n$ tend vers l'infini. Plus $n$ est grand et plus le résultat tend vers la valeur recherchée.

   On propose de programmer un algorithme en Python permettant de calculer ce nombre $\mathrm{e}$ pour plusieurs valeurs de $n$ à l'aide d'une fonction calcul(n).