Objectif

Etablir l'équation du modèle exponentiel de croissance bactérienne à partir de la manipulation de données expérimentales.

On considère une bactérie en phase de croissance, présente initialement en quantité N0N_0, qui se divise pendant un temps tt. Cela signifie qu'à chaque division, la cellule-mère se scinde en deux cellules-filles.

  1. On s'intéresse à l'évolution de la population de bactéries.

    1. Combien compte-t-on de bactéries après une génération (ou division) ? Après deux générations ?

    2. Après une génération, on compte 2N02 N_0 bactéries. Au bout de deux générations, on en compte 4N04 N_0 car la population a encore doublé.

    3. Quelle est la relation entre NnN_n, le nombre de bactéries au bout de nn générations, et N0N_0, le nombre de bactéries initial ?

    4. On reconnaît une suite géométrique de raison 2, d'où Nn=N0×2nN_n = N_0 \times 2^n

  2. Voici les données expérimentales qui ont été recueillies. On donne tt en minutes et le nombre de bactéries en milliers :

    tt 0 15 30 45 60 75 90 105 120
    N 245 308 382 474 593 744 928 1 156 1 381
  3. Entrer ces données dans l'application Régressions, et vérifier que les données suivent bien une croissance exponentielle en sélectionnant le modèle de régression adapté.

  4. t est entré en X1 et N en Y1 .
    La croissance est exponentielle.
  5. On appelle kk le taux de croissance des bactéries, c'est-à-dire le nombre de divisions par unité de temps. On a donc n=ktn = kt et N=N0×2ktN = N_0 \times 2^{kt}.

    Montrer que : lnN=lnN0+ktln2\ln{N} = \ln{N_0} + kt \ln{2}

  6. On sait que N=N0×2ktN = N_0 \times 2^{kt} d'où lnN=lnN0+ln2kt=lnN0+ktln2\ln{N} = \ln{N_0} + \ln{2^{kt}} = \ln{N_0} + kt \ln{2}.

  7. D'après cette expression, conjecturer la représentation graphique de lnN\ln{N} en fonction de tt.

  8. L'expression est de la forme y=mt+py = mt + p donc sa représentation graphique sera vraisemblablement une droite de coefficient directeur kln2k \ln{2} et d'ordonnée à l'origine lnN0\ln{N_0}.

  9. On propose de réaliser une nouvelle régression en représentant maintenant lnN\ln{N} en fonction de tt.

    Dans l'onglet Données de l'application, nous allons réutiliser les mêmes valeurs en X1 et en X2 : on sélectionner la cellule X2, toucke OK, remplir avec une formule : X2=X1.

    Pour les valeurs de Y2, nous allons réutiliser les valeurs de Y1 en appliquant le logarithme : on sélectionne Y2, touche OK, remplir avec une formule : Y2 = ln(Y1).

    Remplir avec une formule
    X1 est entré en X2 et ln(Y1) en Y2.

    Effacer les données du premier tableau et vérifier la conjecture en effectuant une régression. Quelle est la valeur du coefficient directeur à 10-3 près ?

  10. Régression linéaire.

    On obtient un coefficient directeur égal à 0,015.

  11. En déduire une expression de N(t)N \left(t\right).

  12. lnN=lnN0+kln2t    N=N0ekln2t\ln{N} = \ln{N_0}+k \ln{2} t \iff N = N_0 \mathrm{e}^{k \ln{2} t} avec kln2=0,015k \ln{2} = 0,015.

    D'où N(t)=245e0,015tN\left(t\right) = 245 \mathrm{e}^{0,015 t}

  13. Quelle est la limite de la fonction N(t)N \left(t\right) lorsque tt tend vers ++ \infty ? Ce modèle mathématique est-il cohérent pour décrire toute la dynamique de croissance des bactéries dans un milieu donné ?

  14. La limite de la fonction est infinie. Cela impliquerait que les bactéries se divisent à l'infini, ce qui n'est ni vrai, ni possible. En effet, les bactéries nécessitent un certain nombre de ressources pour survivre et se diviser. Or, les ressources en un milieu donné ne sont pas illimitées, elles vont finir par manquer et, sans apport extérieur, la croissance des bactéries va ralentir puis la population, décliner.

    Ce modèle ne permet de décrire qu'une phase du processus de croissance des bactéries : la phase dite de croissance exponentielle.