Objectif

L'objectif est d'établir mathématiquement l'équation de désintégration radioactive et l'expression du temps de demi-vie, notions vues en enseignement scientifique et en spécialité physique-chimie.

On considère un échantillon de matière organique. Celui-ci contient à l'instant t(t0)t\,\left(t \geq 0 \right), N(t)N\left( t \right) noyaux radioactifs.

  1. On sait que la vitesse de désintégration des noyaux N(t)N'\left( t \right) est décroissante et proportionnelle (de coefficient λ\lambda positif et non-nul) au nombre de noyaux radioactifs. Établir l'équation différentielle correspondante.

    La fonction est décroissante, donc la dérivée est négative, d'où :

    N(t)=λN(t)N'\left(t\right)=-\lambda N\left(t\right)

  2. On considère qu'à l'instant t=0t=0, le nombre de noyaux radioactifs est égal à N0N_{0}. Résoudre l'équation différentielle.

    Il s'agit d'une équation différentielle du premier ordre à coefficient constant dont la solution est de la forme CeλtC\mathrm{e}^{-\lambda t} avec CC constante. Pour trouver la valeur de cette constante, on s'intéresse aux conditions initiales :

    N(0)=Ce0=C=N0\displaystyle N\left(0\right)=C\mathrm{e}^{0}=C=N_{0}

    D'où :

    N(t)=N0eλt\displaystyle N\left( t \right) = N_{0}\,\mathrm{e}^{-\lambda t}

  3. Le temps de demi-vie t12t_{\frac{1}{2}} est définie comme étant le temps au bout duquel le nombre de noyaux radioactifs est divisé par deux. Etablir l'équation correspondante et en déduire une expression de t12t_{\frac{1}{2}}.

    N(t12)=N02    eλt12=12    t12=ln2λ\displaystyle N\left(t_{\frac{1}{2}}\right) = \frac{N_{0}}{2} \iff \mathrm{e}^{-\lambda t_{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} \iff t_{\frac{1}{2}}=\frac{\ln{2}}{\lambda}

  4. Établir une expression afin de connaître l'âge d'un échantillon radioactif en fonction de sa demi-vie et de son nombre de noyaux radioactifs à l'instant tt.

    On cherche t(t0)t \left( t \geq 0 \right) tel que :

    N(t)=N0eln2t1/2t    (ln2t1/2)t=ln(N(t)N0)    t=ln(N(t)N0)×(t1/2ln2)\displaystyle N\left(t\right)=N_{0}\,\mathrm{e}^{-\frac{\ln{2}}{t_{1/2}}t} \iff -\left(\frac{\ln{2}}{t_{1/2}} \right)t = \ln\left({ \frac{N \left( t \right)} {N_{0}}}\right) \iff t = - \ln\left( {\frac {N \left( t \right)} {N_{0}}} \right) \times \left( \frac{t_{1/2}}{\ln{2}} \right)

    On pourra faire remarquer que l'expression N(t)N0\displaystyle \frac {N \left( t \right)} {N_{0}} est inférieure à 1, d'où un logarithme négatif mais une expression globalement positive.

  5. On s'intéresse à un échantillon organique qui comprend 7,00×1067,00 \times 10^{6} noyaux radioactifs. Initialement, il en contenait 1,00×1081,00 \times 10^{8}. Quel est l'âge de cet échantillon ? On rappelle que le temps de demi-vie du carbone 14 est de 5730 ans.

    On peut utiliser l'application Fonctions pour calculer l'antécédent de 7 000 000 par la fonction N(t) définie précédemment.

    En utilisant l'expression précédente, on obtient :

    t=ln(7,00×1061,00×108)×(5730ln2)=2,20×104\displaystyle t = - \ln\left( {\frac {7,00\times 10^{6}} {1,00 \times 10^{8}}} \right) \times \left( \frac{5730}{\ln{2}} \right) = 2,20 \times 10^{4}

    L'échantillon est donc âgé d'environ 22 000 ans.